DERET & FUNGSI

BARISAN ARITMATIKA

U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n - U_n-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U₁, U₂, U₃ ............., U_n

Rumus Suku ke-n :

U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
U_n = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+U_n)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n")
   
   
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
   Barisan aritmatika akan turun jika b <>
   
   
3. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1 atau Un = S_n' - 1/2 S_n"
   
   
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
   
   U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1) dst.
   
   
5. S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
   
   
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

1. BARISAN GEOMETRI
   
   U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika
   
   U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta
   
   Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
   
   Rasio r = U_n / U_n-1
   
   Suku ke-n barisan geometri
   
   a, ar, ar² , .......ar^n-1
   U₁, U₂, U₃,......,U_n
   
   Suku ke n U_n = ar^n-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
   
   
   
2. DERET GEOMETRI
   
   a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
   a = suku awal
   r = rasio
   n = banyak suku
   
   Jumlah n suku
   
   Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
   = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)
   
   Keterangan:
   
   
   1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
      
   2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
      U_n > U_n-1
      
   3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      U_n <>n-1
      
      Bergantian naik turun, jika r <>
      
   4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
      
   5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
      _______ __________
      Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.
      
      
   6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
      
      
      
3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
   
   Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
   
   U₁ + U₂ + U₃ + ..............................
   
   ¥
   å Un = a + ar + ar² .........................
   n=1
   
   dimana n ® ¥ dan -1 <> sehingga rⁿ ® 0
   
   Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
   
   Jumlah tak berhingga S_¥ = a/(1-r)
   
   Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 <>
   
   Catatan:
   
   a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
   
   a+ar² +ar⁴+ ....... S_ganjil = a / (1-r²)
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
   
   a + ar³ + ar⁵ + ...... S_genap = ar / 1 -r²
   
   Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r
   

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, ............., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.
.
.
.

M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M^_n = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, .........., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
= (1 + P/100)² M₀
.
.
.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p = Persen per periode atau suku bunga
n = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p <>